Статистика бозе эйнштейна простыми словами

0
155

Вывод и описание[править]

Гамильтониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме гамильтонианов отдельных частиц. Собственные функции гамильтониана системы представляются как произведение собственных функций гамильтонианов отдельных частиц. А собственные значения (энергия) гамильтониана системы равна сумме энергий (собственных значений гамильтонианов) отдельных частиц.

ψ(r)=ψ(r1,r2,…,rn)=ψi1(r1)ψi2(r2)…ψin(rn),{displaystyle psi (r)=psi (r_{1},r_{2},…,r_{n})=psi _{i_{1}}(r_{1})psi _{i_{2}}(r_{2})…psi _{i_{n}}(r_{n}),}{displaystyle psi (r)=psi (r_{1},r_{2},...,r_{n})=psi _{i_{1}}(r_{1})psi _{i_{2}}(r_{2})...psi _{i_{n}}(r_{n}),}

где ψik{displaystyle psi _{i_{k}}} — волновая функция для энергетического уровня εik{displaystyle varepsilon _{i_{k}}}.

W(E)=eΩ μn−EΘg(E),{displaystyle W(E)=e^{frac {Omega mu n-E}{Theta }}g(E),}{displaystyle W(E)=e^{frac {Omega  mu n-E}{Theta }}g(E),}

где g(E){displaystyle g(E)} — кратность вырождения данного уровня энергии.

Для описанной выше волновой функции перестановка координат меняет волновую функцию, то есть перестановка координат создает новое микросостояние. То есть выбор такой волновой функции предполагает микроскопическую различимость частиц. Однако макроскопически они соответствуют одному и тому же состоянию.

Однако, необходимо учесть, что, как известно, произвольная линейная комбинация волновых функций тоже является решением уравнения Шредингера. В силу тождественности частиц, то есть их микроскопической неразличимости, необходимо выбрать такую линейную комбинацию, чтобы перестановка координат не меняла волновую функцию, то есть

ψ=∑PPψ,{displaystyle psi =sum _{P}Ppsi ,}{displaystyle psi =sum _{P}Ppsi ,}
W(n0,n1,…)=eΩ ∑l=0∞ni(μ−εi)Θ.{displaystyle W(n_{0},n_{1},…)=e^{frac {Omega sum _{l=0}^{infty }n_{i}(mu -varepsilon _{i})}{Theta }}.}{displaystyle W(n_{0},n_{1},...)=e^{frac {Omega  sum _{l=0}^{infty }n_{i}(mu -varepsilon _{i})}{Theta }}.}

Отсюда можно показать, что

Ω=Θ∑i=0∞ln⁡(1−e(μ−εi)/Θ).{displaystyle Omega =Theta sum _{i=0}^{infty }ln(1-e^{(mu -varepsilon _{i})/Theta }).}{displaystyle Omega =Theta sum _{i=0}^{infty }ln(1-e^{(mu -varepsilon _{i})/Theta }).}

статистика бозе эйнштейна простыми словами

Среднее число частиц в заданном состоянии можно выразить через эту величину как частную производную (с противоположным знаком) по μi{displaystyle mu _{i}} условно полагая, что μ{displaystyle mu } различаются для каждого i{displaystyle i}. Тогда для среднего числа частиц в заданном состоянии согласно статистике Бозе — Эйнштейна, получаем

n¯i=1e(εi−μ)/kT−1,{displaystyle {overline {n}}_{i}={frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu )/kT}-1}},}{displaystyle {overline {n}}_{i}={frac {1}{e^{(varepsilon _{i}-mu )/kT}-1}},}

где εi